Quand la soustraction empêche de penser

Dans beaucoup de cas nous apprenons aux enfants à faire une soustraction pour découvrir quel nombre (dit « complémentaire ») il est nécessaire d’ajouter à un nombre déjà connu pour qu’ensemble ils atteignent une somme définie comme l’autre donnée de base.

C’est, par exemple, l’histoire du petit Lucien qui projette d’acheter une bicyclette qu’il a vue proposée dans une vitrine de son village au prix de 125 €, alors que le total de ses économies s’élève aujourd’hui à 42 €. La question qui se pose à lui est, bien évidemment, celle de savoir combien il lui manque pour acheter ce vélo. Autrement dit, combien il devra ajouter aux 42 € qu’il possède déjà pour s’acquitter de la somme de 125 € qui est le prix affiché.

Tant que nous aiderons les élèves à résoudre le problème qui se pose clairement à eux, ou plus précisément au petit Lucien auquel ils s’identifient, et qui consiste à savoir combien il faut ajouter à 42 pour atteindre 125, le langage viendra en aide à la compréhension. Nous pourrons leur dire, par exemple: « Imaginons que Lucien puisse ajouter 10 €, et 10 € seulement, chaque mois, à ses économies. Réfléchissez et dites-moi combien de mois il devra attendre encore pour acheter son vélo. Et, du même coup, combien il aura ajouté à 42 pour atteindre 125. »

Pour répondre à cette double question, les enfants parleront entre eux, et il est probable que certains objecteront que, 10 € à ajouter chaque mois, c’est trop (« Avec ce que me donne ma mère comme argent de poche, il faudrait que je ne dépense plus rien »), ou au contraire trop peu (« À ce train, il n’est pas prêt de l’avoir, son vélo, il lui faudra dix ans »). À quoi nous pourrons leur répondre que le rythme de 10 € par mois est une pure supposition, et que s’ils veulent imaginer un rythme de 10 € par jour ou de 10 € par an, ce sera aussi bien, puisque dans tous les cas, ils trouveront le même nombre à ajouter à 42.

Cela les étonnera beaucoup. Mais si nous les laissons se débrouiller entre eux, ils ne manqueront pas de venir à bout de cette affaire. Ou presque au bout, puisqu’il y aura encore une étape où ils diront: « Madame, Monsieur, nous voyons bien que Lucien devra économiser encore pendant 8 jours, ou 8 mois ou 8 ans. Pourtant au bout de ces 8 jours, ou 8 mois, ou 8 ans, il ne disposera pas encore tout à fait de la somme, puisqu’il lui manquera 3 €. » À quoi, nous devrons leur répondre: « Vous me dites qu’il aura économisé 8 jours, 8 mois ou 8 ans, et vous me dites aussi qu’au bout de ce temps, il lui manquera encore 3 €, et tout cela me paraît exact, et je suis émerveillé que vous l’ayez découvert par vous-mêmes. Mais vous ne me dites pas encore combien il aura ajouté ainsi à 42 pour atteindre 125. » Sur quoi il leur faudra sans doute reprendre les pourparlers, se consulter une dernière fois, avant de livrer enfin le chiffre de 83.

Dans tout cela la démarche mathématique dans laquelle nous aurons entraîné les élèves aura été à la fois logique et langagière. Ils auront réfléchi (et appris à le faire) en construisant des phrases, c’est-à-dire en parlant. Tandis qu’une fois que nous leur aurons appris à faire des soustractions, et que nous attendrons qu’ils se servent de cette opération pour résoudre le problème, le procédé d’écriture leur permettra d’éviter tout ce jeu de langage et, du même coup, cette réflexion. Car une soustraction s’effectue en silence. L’élève qui la pose (l’écrit) ne songe, le plus souvent, qu’à bien placer le nombre le plus grand dessus, et le plus petit dessous, ce qui ne l’empêche pas d’avoir quelquefois un chiffre plus petit dessus que dessous, en quoi tout se complique. C’est comme un tour de passe-passe qui permet d’aller vite et qui, du même coup, évite de penser.

Or, que ce raccourci soit emprunté par des élèves qui ont déjà éprouvé le chemin des ajouts successifs est sans doute légitime. Mais tant que cette démarche tâtonnante n’a pas été effectuée, parcourue et re-parcourue, la soustraction leur permet sans doute de « trouver le résultat », mais c’est au prix de les rendre muets. Stupides. À tout le moins, stupéfaits.

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